ung-dung-cua-dao-ham

Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm trong Vật lý

Đạo hàm là gì? Đây là câu hỏi mà có rất nhiều bạn đang thắc mắc. Vậy nên, hôm nay edgreen.vn xin được giải đáp câu hỏi này, mong rằng sẽ giúp ích được cho độc giả, giúp đọc giả có cái nhìn mói về toán học nói chung và đạo hàm nói riêng!

dao-ham-la-gi

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm x0. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này. Đạo hàm có ý nghĩa hình học và vật lý.

Định nghĩa đạo hàm

Ví dụ về một dđạo hàm cơ bản: Giới hạn (nếu có), của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0, khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x)y=f(x) tại điểm x0.

Đạo hàm của hàm số y=f(x)y=f(x) được ký hiệu là y′(x0)y′(x0) hoặc f′(x0)f′(x0):

  • f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0

hoặc:

  • y′(x0)=limΔx→0ΔyΔxy′(x0)=limΔx→0ΔyΔx

Số gia của đối số là Δx=x−x0Δx=x−x0

Số gia của hàm số là Δy=y−y0Δy=y−y0

  • *ký hiệu delta là: Δ

Nói 1 cách dễ hiểu:

Đạo hàm bằng delta y chia delta x với delta x là rất nhỏ

giá trị đạo hàm tại 1 điểm x0 thể hiện:

  • Chiều biến thiên của hàm số (đang tăng hay đang giảm, xem đạo hàm tại đây dương + hay âm -)
  • Độ lớn của biến thiên này (ví dụ: đạo hàm bằng 1 => delta y tăng bằng delta x)

Đạo hàm một bên

  • Đạo hàm bên trái của hàm số y=f(x)y=f(x) tại x0 là khi Δx→0−Δx→0− (tức x→x0x→x0 và nhỏ hơn x0)
    • Ký hiệu: f′(x−0)f′(x0−)
  • Đạo hàm bên phải của hàm số y=f(x)y=f(x) tại x0 là khi Δx→0+Δx→0+ (tức x→x0x→x0 và lớn hơn x0)
    • Ký hiệu: f′(x+0)f′(x0+)
  • y=f(x)y=f(x) có đạo hàm tại x0 <=> f′(x0)=f′(x−0)=f′(x+0)f′(x0)=f′(x0−)=f′(x0+)

Có đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Hàm số liên tục

Hàm số y=f(x)y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu limx→x0f(x)=f(x0)limx→x0f(x)=f(x0)

Chú ý:y=f(x)y=f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:

  • f(x)f(x) xác định tại x0.
  • limx→x0f(x)limx→x0f(x) tồn tại.
  • limx→x0f(x)=f(x0)limx→x0f(x)=f(x0).

Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

  • Nếu hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
  • Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó.

Lưu ý: Hàm số liên tục tại điểm x0 thì chưa chắc có đạo hàm tại x0.

Ý nghĩa của đạo hàm

Ý nghĩa của đạo hàm trong hình học

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0,f(x0))M(x0,f(x0)) đó.

=> Phương trình của tiếp tuyến tại điểm M: y−y0=f′(x0)(x−x0)y−y0=f′(x0)(x−x0)

Ứng dụng của đạo hàm trong vật lý

Xét chuyển động thẳng s=f(t)s=f(t)

Khi đó vận tốc tức thời tại thời điểm t0t0 là: v(t0)=s′(t0)=f′(t0)v(t0)=s′(t0)=f′(t0)

Còn gia tốc tức thời tại thời điểm t0t0 là đạo hàm cấp 2 của phương trình chuyển động:

a(t0)=f′′(t0)a(t0)=f″(t0)

Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

Q=f(t)Q=f(t)

Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0t0: I(t0)=Q′(t0)=f′(t0)I(t0)=Q′(t0)=f′(t0)

Khi nào dùng đạo hàm?

Cách tính độ dốc của đường thẳng cũng cần dùng đạo hàm.

Khi đang kèm học toàn cho đứa em chuẩn bị thi đại học, bất chợt nó hỏi tôi rằng: “Anh ơi, Em thật sự vẫn không thể hiểu được dĐạo hàm là gì ạ? Khi nào thì cần dùng dđạo hàm?” Tôi liền lúc đấy hơi giật mình, phần vì đột ngột, phần vì đây không hải là câu hỏi dễ mà tôi lại chưa chuẩn bị, nên có phần lúng túng nên đã trả lời một cách qua quít rằng: “À thì Đạo Hàm là một từ trong tiếng Hán, Đạo là đường, hàm là tập hợp những biến đổi, thế cho nên đạo hàm là một khái niệm dùng để chỉ con đường vận động của một vật thể và nó là biến đổi của hàm số…“. Không biết trả lời như vậy có đúng không nữa!

Bài viết cũng đã dài, chúng tôi hy vọng đã giải đáp được cho quý vị và các bạn về Đạo hàm là gì? Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý và Toán học. Dù sao thì Đạo hàm cũng có rất nhiều điều “bí ẩn” cần được khám phá. Chính vì thế mà mọi đóng góp của quý khán giả ở phần bình luận sẽ là động lực giúp chúng tôi hoàn thiện bài viết hơn. Trân thành cảm ơn!

Related Posts

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *