Tìm hiểu về kiến thức cấp số nhân là gì? 1

Tìm hiểu về kiến thức cấp số nhân là gì?

Trong toán học, một cấp số nhân (tiếng Anh: geometric progression hoặc geometric sequence) là một dãy số thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Như vậy, một cấp số nhân có dạng:

a, ar, ar2, ar3, ar4,…

trong đó r là công bội và a là số hạng đầu tiên.

Tìm hiểu về kiến thức cấp số nhân là gì? 2

Số hạng tổng quát

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bằng công thức

an = arn-1
trong đó n là số nguyên thoả mãn {\displaystyle n\geq 1}
Công bội khi đó là
{\displaystyle r=\left({\frac {a_{n}}{a}}\right)^{\frac {1}{n-1}}}

hoặc

{\displaystyle r={\sqrt[{n-1}]{\frac {a_{n}}{a}}}}

trong đó n là số nguyên thoả mãn {\displaystyle n\geq 1}

Ví dụ

  • Cấp số nhân với công bội là 2 và A phần tử đầu tiên là 1
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128….

Cấp số nhân với công bội 2/3 và phần tử đầu tiên là 729:

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729,….) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64,….

Cấp số nhân với công bội −1 và phần tử đầu là 3

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1,….) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3,….

Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội.

Nếu công bội là:

  • Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định.
  • Số âm: các số hạng là đan dấu giữa âm và dương.
  • 0, mọi số hạng bằng 0.
  • Lớn hơn 1, các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
  • 1, là một dãy không đổi.
  • Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
  • −1, là một dãy đan dấu.
  • Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).

Các chuỗi hình học (với tỷ lệ chung không bằng 1, 1 hoặc 0) cho thấy sự tăng trưởng theo cấp số nhân hoặc suy giảm theo cấp số nhân, trái ngược với sự tăng trưởng tuyến tính (hoặc suy giảm) của một tiến trình số học như 4, 15, 26, 37, 48, 48 (với sự khác biệt chung 11) . Lưu ý rằng hai loại tiến trình có liên quan: lũy thừa từng số hạng của một tiến trình số học mang lại một tiến trình hình học, trong khi lấy logarit của mỗi thuật ngữ trong một tiến trình hình học với tỷ lệ chung dương mang lại một tiến trình số học.

Một kết quả thú vị của định nghĩa về tiến trình hình học là với bất kỳ giá trị nào của tỷ lệ chung, bất kỳ ba số hạng liên tiếp a , b và c sẽ thỏa mãn phương trình sau:

b2 = ac

trong đó b được coi là trung bình hình học giữa a và c .

Tổng

Tổng các phần tử của cấp số nhân:

{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,}

Nhân cả hai vế với (1-r):

{\displaystyle (1-r)S_{n+1}=(1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a-ar^{n+1}\,}

vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau. Từ đó:

{\displaystyle S_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}}

Chú ý: Nếu tổng không khởi đầu từ 0 mà từ m > 0 và m < n ta có

{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}}

Vi phân của tổng theo biến r là tổng dạng

{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}}
{\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!r}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=0}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}}

Tổng vô hạn

Nếu cấp số nhân có vô hạn phần tử thì tổng Sn là hội tụ khi n → ∞ khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn một (| r | < 1).

{\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}}

Khi tổng không khởi đầu từ k = 0, ta có

{\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}}

Cả hai công thức chỉ đúng khi | r | < 1. Công thức sau cũng đúng trong mọi đại số Banach, khi chuẩn (norm) của r nhỏ hơn 1, và trong trường của các số p-adic nếu |r|p < 1. Cũng như trong tổng hữu hạn, ta có vi phân của tổng. Chẳng hạn:

{\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!r}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}}

Tất nhiên công thức chỉ đúng khi | r | < 1.

Số phức

Công thức tính tổng của cấp số nhân cũng đúng khi các phần tử là các số phức. Điều này được sử dụng, cùng với Công thức Euler, để tính một vài tổng như:

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}

Từ đó có:

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}}
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos(kx)}{r^{k}}}={\frac {r-cos(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}}
Một cấp số nhân là tổng của các số trong một tiến trình hình học. Ví dụ:

2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 x 5 + 2 x 52 + 2 x 53

Đặt một số hạng đầu tiên (ở đây 2), n là số lượng số hạng (ở đây 4) và r là hằng số mà mỗi số hạng được nhân với để có được số hạng tiếp theo (ở đây 5), tổng được đưa ra bởi:

{\ displaystyle {\ frac {a (1-r ^ {n})} {1-r}}}

Trong ví dụ trên, điều này mang lại:

2 + 10 + 50 + 250 = {\ frac {2 (1-5 ^ {4})} {1-5}} = {\ frac {-1248} {- 4}} = 312.

Công thức làm việc cho bất kỳ số thực a và r (ngoại trừ r = 1, kết quả là chia cho số 0). Ví dụ:

-2 \ pi +4 \ pi ^ {2} -8 \ pi ^ {3} = - 2 \ pi + (- 2 \ pi) ^ {2} + (- 2 \ pi) ^ {3} = {\ frac {-2 \ pi (1 - (- 2 \ pi) ^ {3})} {1 - (- 2 \ pi)}} = {\ frac {-2 \ pi (1 + 8 \ pi ^ {3 })} {1 + 2 \ pi}} \ khoảng -214.855.

Vì đạo hàm (bên dưới) không phụ thuộc vào a và r là số thực, nên nó cũng giữ các số phức.

Đạo hàm

Để rút ra công thức này, trước tiên hãy viết một loạt hình học chung như:

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1} = ar ^ {0} + ar ^ {1} + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ cdots + ar ^ {n-1}.}

Chúng ta có thể tìm thấy một công thức đơn giản hơn cho tổng này bằng cách nhân cả hai vế của phương trình trên với 1 – r , và chúng ta sẽ thấy rằng

{\ started {căn chỉnh} (1-r) \ sum _ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1} & = (1-r) (ar ^ {0} + ar ^ {1} + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ cdots + ar ^ {n-1}) \\ & = ar ^ {0} + ar ^ {1} + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ cdots + ar ^ {n-1} -ar ^ {1} -ar ^ {2} -ar ^ {3} - \ cdots -ar ^ {n-1} -ar ^ {n} \\ & = a-ar ^ {n} \ end {căn chỉnh}}

vì tất cả các điều khoản khác hủy bỏ. Nếu r ≠ 1, chúng ta có thể sắp xếp lại các phần trên để có được công thức thuận tiện cho một chuỗi hình học tính tổng của n số hạng:

\ sum _ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1} = {\ frac {a (1-r ^ {n})} {1-r}}.

Các công thức liên quan

Nếu một người bắt đầu tổng không phải từ k = 1, mà từ một giá trị khác, hãy nói m , sau đó

{\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} ar ^ {k} = {\ frac {a (r ^ {m} -r ^ {n + 1})} {1-r}},}

cung cấp r ≠ 1 và a(n – m + 1) khi nào r = 1.

Phân biệt công thức này với r cho phép chúng tôi đến các công thức tính tổng của mẫu

{\ displaystyle G_ {s} (n, r): = \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {s} r ^ {k}.}

Ví dụ:

{\ frac {d} {dr}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} r ^ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} kr ^ {k-1} = {\ frac {1-r ^ {n + 1}} {(1-r) ^ {2}}} - {\ frac {(n + 1) r ^ {n}} {1-r}}.

Đối với một chuỗi hình học chỉ chứa các lũy thừa của r nhân với 1 – 2   :

(1-r ^ {2}) \ tổng _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k} = a-ar ^ {2n + 2}.

Sau đó

\ sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k} = {\ frac {a (1-r ^ {2n + 2})} {1-r ^ {2}}}.

Tương đương, lấy   2   làm tỷ lệ chung và sử dụng công thức chuẩn.

Đối với một loạt chỉ có sức mạnh kỳ lạ của r

(1-r ^ {2}) \ tổng _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k + 1} = ar-ar ^ {2n + 3}

\ sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k + 1} = {\ frac {ar (1-r ^ {2n + 2})} {1-r ^ {2}}}.

Một công thức chính xác cho tổng số G8 (n,r) khi nào {\ displaystyle s \ in \ mathbb {N}} được mở rộng bằng số Stirling của loại thứ hai là

    {\ displaystyle G_ {s} (n, r) = \ sum _ {j = 0} ^ {s} \ left \ lbrace {s \ atop j} \ right \ rbrace x ^ {j} {\ frac {d ^ {j}} {dx ^ {j}}} \ left [{\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}} \ phải].}

    XEM THÊM:

    Categories

    Related Posts

    Trả lời

    Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *