Bất đẳng thức đáng nhớ cơ bản cần nắm vững 1

Bất đẳng thức đáng nhớ cơ bản cần nắm vững

Bất đẳng thứ đáng nhớ là kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10 mà các em học sinh nào cũng phải nhớ và nắm vững kiến thức. Việc nắm chắc các định lý và công thức bất đẳng thức đáng nhớ giúp các em tìm được lời giải các bài toán một cách dễ dàng. Cùng Edugreen tìm hiểu các kiến thức về bất đẳng thức đáng nhớ cơ bản trong bài viết sau.

Tìm hiểu bất đẳng thức là gì? Bất đẳng thức đáng nhớ cơ bản

Bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng, với hai đối tượng là các biểu thức chứa các số và các phép toán.

Biểu thức phía bên trái dấu bất đẳng thức được gọi là vế trái, biểu thức phía bên phải được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Bất đẳng thức đáng nhớ

Khi một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện.

Khi một bất đẳng thức đúng với một số giá trị nào đó của biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng, sẽ vẫn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương.

Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó thực hiện nhân hay chia bởi một số âm. Đây là những kiến thức cơ bản nhưng không hề kém phần quan trọng cho các bất đẳng thức đáng nhớ.

Định nghĩa 1: Quan hệ bất đẳng thức nghiêm ngặt

Số thực a được gọi là lớn hơn số thực b, kí hiệu a > b khi a – b là một số dương, tức là ab>0, hay còn có thể ký hiệu b < a

Ta có: a>bab>0

Trường hợp nếu a > b hoặc a = b, có thể ký hiệu là ab.

Ta có: abab0

Định nghĩa 2

Giả sử A và B là hai biểu thức ( biểu thức có thể bằng số hoặc chứa biến )

Ta có Mệnh đề:

  • “A lớn hơn B”, kí hiệu A>B
  • “A nhỏ hơn B”, ký hiệu A<B
  • “A nhỏ hơn hoặc bằng B”, ký hiệu AB
  • “A lớn hơn hoặc bằng B”, ký hiệu AB

được gọi là một bất đẳng thức.

Quy ước: – Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.

  • Chứng minh một bất đẳng thức chính là việc đi chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

Các dạng bài toán thường gặp trong chuyên đề bất đẳng thức là:

  • Bài toán chứng minh bất đẳng thức.
  • Bài toán giải bất phương trình ( Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng).
  • Bài toán tìm cực trị (Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến.

Bất đẳng thức cơ bản với Số thực dương, số thực âm

Với a là số thực dương, ta kí hiệu a > 0

Với a là số thực âm, ta kí hiệu a < 0

a là số thực dương hoặc a = 0, ta nói a là số thực không âm và ký hiệu a0

a là số thực âm hoặc a = 0, ta nói a là số thực không dương và ký hiệu a0

Đối với hai số thực a, b, chỉ có thể xảy ra một trong ba khả năng:

a > b, a < b hoặc a = b

Phủ định của mệnh đề “a>0” là mệnh đề “a0

Phủ định của mệnh đề “a<0” là mệnh đề “a0

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Tính chất 1: Tính chất bắc cầu:

Với mọi số thực a, b, c Ta có: {ab>>bca>c

Tính chất 2: Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ hai vế của một số, được phát biểu như sau: Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực

  • Quy tắc cộng hai vế với một số: a>ba+c>b+c
  • Trừ hai vế với cùng một số: a>bac>bc

Hệ quả 1: Chuyển vế : a+c>ba>bc

Tính chất 3: Quy tắc cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: ac>>bda+c>b+d

Tính chất 4: Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia hai vế của một bất đẳng thức, được phát biểu như sau:

Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc chia) với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực.

  • Quy tắc nhân hai vế với cùng một số: a>b{acac><bc(c>0)bc(c<0)
  • Quy tắc chia hai vế với cùng một số: a>b{acac><bc(c>0)bc(c<0)

Hệ quả 2: Quy tắc đổi dấu hai vế: a>ba<b

Tính chất 5: Quy tắc nhân hai vế hai bất đẳng thức cùng chiều: {ac>>bd>>00ac>bd

Tính chất 6: Quy tắc nghịch đảo hai vế: a>b>00<1a<1b

Tính chất 7: Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc n: a>b>0,nNan>bn

Tính chất 8: Quy tắc khai căn bậc n: a>b>0,nNa−−√n>bn

Hệ quả: Quy tắc bình phương hai vế

  • Nếu a và b là hai số dương thì: a>ba2>b2
  • Nếu a và b là hai số không âm thì: aba2b2

Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối

Tính chất của bất đẳng thức đáng nhớ này được tóm tắt dưới đây:

|a|0,|a|2=a2,a<|a|,a|a|

Với mọi a, b thuộc R, ta có:

  • |a+b||a|+|b|
  • |ab||a|+|b|
  • |a+b|=|a|+|b|ab0
  • |ab|=|a|+|b|ab0

Bất đẳng thức trong tam giác

Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có:

  • a>0,b>0,c>0
  • |bc|<a<b+c
  • |ca|<b<c+a
  • |ab|<c<a+b
  • a>b>cA>B>C

Hàm đơn điệu và bất đẳng thức đáng nhớ

Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm), ta có thể biến đổi hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt, mà kết quả bất đẳng thức vẫn đúng. Và ngược lại, nếu đưa vào hai vế của một bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng thức đúng.

Nghĩa là:

Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt ab (hoặc ab), có hai trường hợp:

  • Khi f(x) là hàm đơn điệu tăng thì f(a)f(b) (hoặc f(a)f(b) (không đảo chiều)
  • Khi f(x) là hàm đơn điệu giảm thì f(a)f(b) (hoặc f(a)f(b) (đảo chiều)

Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a < b (hoặc a > b), cũng có hai trường hợp:

  • Khi f(x) là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì f(a)<f(b) (hoặc f(a)>f(b)) (không đảo chiều)
  • Khi f(x) là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì f(a)>f(b) (hoặc f(a)<f(b)) (đảo chiều)

Bất đẳng thức kép

Ký hiệu a<b<c  có nghĩa là a < b và b < c, theo tính chất bắc cầu, suy ra a < c.

Dễ thấy, cũng bằng các tính chất ở trên, có thể cộng/trừ cùng một số vào ba số hạng này, hay nhân/chia cả ba số hạng này với cùng một số khác 0, và tùy vào dấu của số nhân/chia đó mà có đảo chiều bất đẳng thức hay không.

Chú ý: chỉ có thể thực hiện điều trên với cùng một số, tức là a<b+e<cae<b<ce

Tổng quát hơn, bất đẳng thức kép có thể dùng với một số bất kỳ các số hạng: chẳng hạn a1a2an có nghĩa là aiai+1  với i = 1, 2, 3,…,n-1. Tương đương với aiaj1ijn

Đôi khi, kiểu ký hiệu bất đẳng thức ghép được dùng với các bất đẳng thức có chiều ngược nhau, trong trường hợp này phải hiểu đây là việc viết ghép các bất đẳng thức riêng biệt cho hai số hạng kế cận nhau. Ví dụ:  a<b>cd có nghĩa là a < b, b > c và cd

Trong toán học thường ít dùng kiểu ký hiệu này, còn trong ngôn ngữ lập trình, chỉ có một ít ngôn ngữ như Python cho phép dùng loại ký hiệu này.

Khi gặp phải các đại lượng mà không thể tìm được hoặc không dễ dàng tìm được công thức tính chính xác, các nhà toán học thường dùng bất đẳng thức đáng nhớ để giới hạn khoảng tầm giá trị mà các đại lượng đó có thể có.

BẠN CÓ BIẾT:

Categories

Related Posts

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *